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摘要：为解决当前高等数学教学中“枯燥难懂”的现实问题，本文将MATLAB引入微积分课堂，旨在构建“直观可视化”的辅助教学体系。文章首先阐述了MATLAB在符号计算、数据可视化方面的核心优势；随后，重点设计了多元函数极值曲面绘制与二阶常系数非齐次线性微分方程求解过程的教学案例。研究通过“软件操作+数学建模”的双重路径，实现了数学理论的程序化与可视化。实验与分析表明，该方法能够有效帮助学生从数值计算过渡到逻辑推理，深化对微积分本质的理解。

关键词：高等数学；MATLAB；可视化教学

1.MATLAB软件简介与意义

MATLAB是一款集数值计算、算法开发、数据可视化、数据分析于一体的科学计算系统环境[1]。它凭借丰富的绘图功能，可将极限、导数、积分、空间解析几何等高度抽象的数学概念与公式转化为精准直观的二维及三维图形，为学生搭建数与形之间的桥梁，强化可视化认知。同时，MATLAB支持数学建模与编程求解，能够将理论知识与实际问题相结合，在教学中渗透建模思想，有利于培养学生的数学思维、逻辑推理与问题解决能力，契合高校创新型与应用型人才培养目标。在课堂层面，该软件通过图形化与交互式操作打破传统教学模式，既能显著激发学生学习兴趣，又能帮助学生提升空间想象能力与数学理解深度[2]。

2.辅助教学案例

2.1用MATLAB编程可视化多元函数极值：从符号计算到直观曲面理解

多元函数极值是多元微积分的核心内容，也是优化问题、数学建模与工程计算的重要基础。传统教学多围绕求偏导、列方程、判别黑塞矩阵展开，偏重代数推导，学生往往对极值点、鞍点的几何特征缺乏直观认识，只懂计算步骤却不懂函数全貌。借助MATLAB，我们可以将符号推导、数值计算、三维可视化融为一体，清晰展示“如何求极值”与“极值长什么样”。

以二元函数为例，我们可以通过编程实现完整的极值分析流程。首先输入函数表达式接下来进入核心计算步骤：先用diff函数分别对x、y求一阶偏导，再通过solve函数求解偏导为零的方程组，得到所有实数驻点。为了判断极值类型，程序继续计算二阶偏导数，构造黑塞矩阵，对每个驻点计算判别式，在命令行窗口输出每个驻点的坐标与判别结果，清晰区分极大值、极小值与鞍点。

为了让结果更直观，程序最后用meshgrid生成网格数据，计算对应函数值，通过surf绘制出彩色透明的三维曲面，并利用scatter3将所有驻点用红色实心圆点标记在曲面上，同时添加坐标轴标签与标题，方便旋转观察。

随着旋转视角观察曲面走势，函数的起伏、关键点的位置一目了然。原本抽象的黑塞矩阵判别法，在图像上有了直接几何对应，学生既能通过程序掌握规范计算流程，又能通过曲面建立几何直观，真正实现“代数推导+几何理解”的统一，为后续学习条件极值、最优

化算法、数值拟合等内容打下坚实基础。

2.2用MATLAB编程求解二阶常系数非齐次线性微分方程：从符号运算到特解可视化

二阶常系数非齐次线性微分方程是常微分方程课程的核心内容，求解思路遵循“先齐次、后非齐次”的基本框架。传统计算需要推导特征方程、假设特解形式、代入求导并比较系数，步骤繁琐且容易出错，也很难直观理解特解形式的选取依据，以及齐次解与特解各自的作用。

方法一：手动分步求解程序

该方法不依赖自动求解指令，完全模拟课本推导步骤，通过符号求导、代入化简、比较系数实现求解。求解齐次方程部分，根据方程系数构造特征方程，求出特征根，并据此写出齐次方程通解，程序直接给出齐次通解表达式，避免手算特征方程与根的判断失误。针对非齐次项构造特解，先设特解，程序通过diff对特解逐次求一阶、二阶导数，代入原方程左端化简，约去公共指数因子后，通过比较多项式系数直接确定a,b的值完整复现手动待定系数的全过程，不依赖内置求解函数，步骤清晰可追溯。最后将齐次通解与求得的特解相加，得到原非齐次方程的通解，并可利用fplot对给定常数下的解函数进行绘图。

方法二：高级符号函数直接求解（dsolve法）

MATLAB符号运算工具箱提供了高级微分方程求解函数dsolve，可直接对线性微分方程进行符号求解，无需手动构造特解、求导与比较系数，一行命令即可得到通解。

两种程序均可得到严谨准确的符号解，手动法侧重理解推导过程，高级符号法则突出计算效率与便捷性。配合图像直观观察解的变化，原本抽象的微分方程求解方法，借助程序化实现，转化为可运行、可验证、可观察的学习过程，既提升计算效率，又加深对原理的理解。

3.结语

本研究立足高等数学教学的实际痛点，系统探究了MATLAB在教学中的融合应用路径。通过典型教学案例的设计与实践，将多元函数极值、微分方程等抽象知识点转化为可交互、可观察的直观内容。同时，本研究也为后续教学实践留下了拓展空间：一方面，可进一步拓展案例覆盖范围，将软件应用延伸至线性代数等其他数学课程；另一方面，可结合线上线下混合式教学模式，开发配套的交互式教学资源与实践任务，推动可视化教学从课堂演示向学生自主探究延伸，真正实现以学生为中心的个性化教学，助力高等数学教学质量的持续提升。

参考文献：
[1]潘金兰,潘秋霞,刘美杏.MATLAB在高等数学课程教学中的可视化应用[J].现代信息科技,2023,7(16):181-184.

[2]林海涛. MATLAB在《高等数学》教学中的辅助功效研究[J]. 开封教育学院学报, 2016, 36(5): 133-134.

谢婉秋

陆军步兵学院